В работе рассматривается новый класс задач интегральной геометрии вольтерровского типа с весовой функцией специального вида. Доказаны теоремы единственности и существования решения, получены оценки устойчивости и формула обращения в пространствах Соболева, тем самым показана слабая некорректность решения задачи интегральной геометрии. Рассмотрено постановка задачи интегральной геометрии с возмущением на семействе параболах в полосе. Доказано теорема единственности ее решения в классе дважды непрерывно дифференцируемых и финитных функций, а также получены оценки устойчивости в пространствах конечной гладкости.